Question

如图，二次函数 y＝ax²﹣2ax+c(a＞0)的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，它的顶点为 P，直线 CP 与过点B 且垂直于 x 轴的直线交于点 D，且 CP：PD＝1：2，tan∠PDB＝．

(1)则 A、B 两点的坐标分别为 A(    ，    )； B(    ，      )；

(2)求这个二次函数的解析式；

(3)在抛物线的对称轴上找一点M 使|MC﹣MB|的值最大，则点M 的坐标为              ．

Answer

（1）﹣1，0；3，0；（2）y=x2﹣x﹣；（3）（1，﹣）

【解析】

（1）先求得抛物线的对称轴为x=1，然后利用平行线分线段成比例定理求得OE：EB的值，从而得到点B的坐标，利用抛物线的对称性可求得点A的坐标；

（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．先求得点C和点P的坐标（用含字母的式子表示），然后可得到PF=a，然后利用锐角三角函数的定义可求得a的值，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得c的值；

（3）根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点A、C、M在同一直线上时|MC-MB|最大，设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据点M在对称轴上代入计算即可得解．

（1）如图所示：

∵由题意可知：抛物线的对称轴为x=1，

∴OE=1．

∵OC∥PE∥BD，CP：PD=1：2，

∴=．

∴BE=2．

∴OB=3．

∴B（3，0）．

∵点A与点B关于PE对称，

∴点A的坐标为（﹣1，0）．

故答案是：﹣1，0；3，0；

（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．

将x=0代入得：y=c，

∴点C的坐标为（0，c）．

将x=1代入得y=﹣a+c．

∴点P的坐标为（1，﹣a+c）．

∴PF=a．

∵PE∥BD，tan∠PDB=，

∴tan∠CPF=tan∠PDB=．

∴．

解得a=．

将a=代入抛物线的解析式得：y=x2﹣x+c．

将点A的坐标代入得： ++c=0，解得：c=﹣．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣．

（3）由三角形的三边关系，|MC﹣MB|＜AC，

∴当点A、C、M在同一直线上时|MC﹣MB|最大，

设直线AC的解析式为y=kx+b，

则，

解得，

∴y=﹣x﹣，

∵抛物线对称轴为直线x=1，

∴当x=1时，y=﹣×1﹣=﹣，

∴点M的坐标为（1，﹣）．

故答案是：（1，﹣ ）．