Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED； ②FG=2；③tan∠E=； ④S_△DEF=4，其中正确的是（　　）

A. ①②③    B. ①②④    C. ②③④    D. ①②③④

Answer

B

【解析】

由垂径定理得出CG=DG，，得出圆周角∠ADF=∠E，再由公共角相等，即可得出△ADF∽△AED，①正确；

由已知条件求出FD，得出CD、CG，即可求出FG=2，②正确；

由相交弦定理求出EF，得出AE，由△ADF∽△AED，得出对应边成比例，求出AD2=21，由勾股定理求出AG，得出tan∠E=tan∠ADF=,③错误；

作EM⊥CD于M，则EM∥AB，证出△EFM∽△AFG，得出比例式，求出ME，即可得出S△DEF=FD•ME=4，④正确．

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CG=DG，，∠AGF=∠AGD=90°，

∴∠ADF=∠E，

又∵∠DAF=∠EAD，

∴△ADF∽△AED，

∴①正确；

∵，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=8，

∵CG=DG，

∴CG=DG=4，

∴FG=2，

∴②正确；

∵AF•EF=CF•FD，

即3EF=2×6，

∴EF=4，

∴AE=7，

∵△ADF∽△AED，

∴，

∴AD2=AE×AF=7×3=21，

在Rt△ADG中，AG=，

∴tan∠E=tan∠ADF=，

∴③错误；

作EM⊥CD于M，如图所示：

则EM∥AB，

∴△EFM∽△AFG，

∴，

∴ME=，

∴S△DEF=FD•ME=×6×=4，

∴④正确；

故选B．