Question

如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，∠ABC＝30°，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 2cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒(0≤t≤6)，连接 PQ，以 PQ 为直径作⊙O．

(1)当 t＝1 时，求△BPQ 的面积；

(2)设⊙O 的面积为 y，求 y 与 t 的函数解析式；

(3)若⊙O 与 Rt△ABC 的一条边相切，求 t 的值．

Answer

(1)；(2)y＝t2-18πt+27π；(3)t 的值为 3 或或 0 或．

【解析】

(1)连接DP,根据△BPM~△BAC,可得PD=t,BQ=(6-t),然后得到

=BQ·PD即可得出结论;

(2)先表示出DP,BD,进而利用勾股定理求出PQ的平方,最后用圆的面积公式即可得出结论;

(3)分O与BC相切、O与AB相切, O与AC相切时,三种情况分类讨论即可得出结论.

【解析】

(1)如图 1，

在 Rt△ABC 中，∠ABC＝30°，AC＝6，

∴AB＝12，BC＝6，

由运动知，BP＝2t，CQ＝t，

∴BQ＝BC﹣CQ＝(6﹣t)，连接 DP，

∵PQ 是⊙O 的直径，

∴∠PDQ＝90°

∵∠C＝90°，

∴PD∥AC．

∴△BPD∽△BAC，

∴＝

∴＝，

∴DP＝t，BD＝ t，

＝ BQ•PD＝ ×(6﹣t)t＝﹣ t+3 t

∴当 t＝1 时，＝﹣ +3＝ ；

(2)DQ＝|BQ﹣BD|＝| (6﹣t)﹣ t|＝2|3﹣t|，PQ＝PD+DQ＝t+[2

(3﹣t)]＝13t﹣72t+108，

∴y＝π×()＝ t﹣18πt+27π，

(3)由运动知，BP＝2t，CQ＝t，

∴BQ＝BC﹣CQ＝(6﹣t)，当⊙O 与 BC 相切时，PQ⊥BC，

∴△BPQ∽△BAC，

∴

∴

∴＝3，

当⊙O 与 AB 相切时，PQ⊥AB，

∴△BPQ∽△BCA

∴

∴ ，

∴＝ ，

当⊙O 与 AC 相切时，

如图 2 ，

过点 O 作 OH⊥AC 于点 H，交 PD 于点 N，

∴OH∥BC，

∵点 O 是 PQ 的中点，

∴ON＝ QD，

由(1)知，BQ＝(6﹣t)，BD＝t，

∴QD＝BD﹣BQ＝2(t﹣3)，DC＝BC﹣BD＝6﹣t＝(6﹣t)

∴OH＝ON+NH＝ QD+DC＝ ×2 (t﹣3)+ (6﹣t)＝3 ，

∴PQ＝2OH＝6，

由(2)知，PQ＝13t﹣72t+108

∴13t﹣72t+108＝36×3解得 ＝0，＝，

综上所述，若⊙O 与 Rt△ABC 的一条边相切，t 的值为 3 或或 0 或．