Question

如图，已知正方形纸片ABCD的边是⊙O半径的4倍，点O是正方形ABCD的中心，将纸片保持图示方式折叠，使EA₁恰好与⊙O相切于点A₁，则tan∠A₁EF的值为_____．

Answer

【解析】

在Rt△FMO中利用勾股定理得出AF与r的关系，设r＝6a，则x＝7a，AM＝MO＝12a，FM＝5a，AF＝FA1＝7a，利用A1N∥OM得到求出AN，NA1，再证明∠1＝∠2即可解决问题．

如图，连接AA1，EO，作OM⊥AB，A1N⊥AB，垂足分别为M、N．

设⊙O的半径为r，则AM＝MO＝2r，设AF＝FA1＝x，

在Rt△FMO中，∵FO2＝FM2+MO2，

∴（r+x）2＝（2r﹣x）2+（2r）2，

∴7r＝6x，

设r＝6a则x＝7a，AM＝MO＝12a，FM＝5a，AF＝FA1＝7a，

∵A1N∥OM，

∴，

∴，

∴A1N＝a，FN＝a，AN＝a，

∵∠1+∠4＝90°，∠4+∠3＝90°，∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3＝∠2，

∴tan∠2＝tan∠1＝＝，

故答案为：．