Question

如图，直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax²+x+c经过B、C两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？

(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

(1)y＝﹣2x2+x+3；(2)点E的坐标是(，)时，△BEC的面积最大，最大面积是；(3)在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是(﹣，﹣3)或(2，﹣3)或(﹣，2)．

【解析】

（1）首先根据直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）；然后根据抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点，求出a、c的值是多少，即可求出抛物线的解析式．

（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，﹣2x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣2x+3），求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出S△ABC，进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可．

（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．

(1)∵直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，

∴点B的坐标是(0，3)，点C的坐标是(，0)，

∵抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+x+3；

(2)如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，

∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，

∴设点E的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，

则点M的坐标是(x，﹣2x+3)，

∴EM＝﹣2x2+x+3﹣(﹣2x+3)＝﹣2x2+3x，

∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC

＝EM•OC

＝×(﹣2x2+3x)×

＝﹣(x﹣)2+，

∴当x＝时，即点E的坐标是(，)时，△BEC的面积最大，最大面积是；

(3)在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，

①如图2，AM∥PQ，AM＝PQ．

由(2)，可得点M的横坐标是，

∵点M在直线y＝﹣2x+3上，

∴点M的坐标是(，)，

又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是x＝，

∴设点P的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，

∵点A的坐标是(﹣1，0)，

∴xP﹣xA＝xQ﹣xM，x﹣(﹣1)＝﹣，

解得x＝﹣，

此时P(﹣，﹣3)；

②如图3，由(2)知，可得点M的横坐标是，

∵点M在直线y＝﹣2x+3上，

∴点M的坐标是(，)，

又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是x＝，

∴设点P的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，点Q的横坐标是，

∵点A的坐标是(﹣1，0)，

∴xQ﹣xA＝xP﹣xM，即﹣(﹣1)＝x﹣，

解得x＝2，

此时P(2，﹣3)；

③如图4，由(2)知，可得点M的横坐标是，

∵点M在直线y＝﹣2x+3上，

∴点M的坐标是(，)，

又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是x＝，

∴设点P的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，点Q的横坐标是，

∵点A的坐标是(﹣1，0)，

∴xP﹣xA＝xM﹣xQ，即x﹣(﹣1)＝﹣，

解得x＝﹣，

此时P(﹣，2)；

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是(﹣，﹣3)或(2，﹣3)或(﹣，2)．