Question

如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：CE为⊙O的切线；

（2）判断四边形AOCD的形状，并说明理由．

Answer

（1）证明见试题解析；

（2）四边形AOCD是菱形；理由见试题解析

【解析】试题（1）连接AC，由题意得==，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，从而得出∠OCE=90°，即可证得结论；

（2）四边形AOCD为菱形．由=，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；

试题解析：（1）连接AC，

∵点CD是半圆O的三等分点，

∴==，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）

∴∠OCE+∠E=180°，

∵CE⊥AD，

∴∠OCE=90°，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）四边形AOCD为菱形．

理由是：

∵=，

∴∠DCA=∠CAB，

∴CD∥OA，

又∵AE∥OC，

∴四边形AOCD是平行四边形，

∵OA=OC，

∴平行四边形AOCD是菱形．