Question

如图，抛物线 y  ax²  2a（x a＜0）位于 x 轴上方的图象记为F₁，它与 x 轴交于 P₁、O 两点，图象 F₂与F₁关于原点 O 对称， F₂ 与 x 轴的另一个交点为 P₂ ， F₁ 将与 F₂ 同时沿 x 轴向右平移 P₁ P₂ 的长度即可得到F₃与F₄ ；再将 F₃与F₄ 同时沿 x 轴向右平移 P₁ P₂ 的长度即可得到 F₅与F₆ ；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象 F₁，F₂，，F_n ．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．

（1）当 a=﹣1 时，

①求 F₁ 图象的顶点坐标；

②点 H（2014，﹣3）        （填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象 F _n的顶点 T _n的横坐标为201，则图象 F _n对应的解析式为            ， 其自变量 x 的取值范围为                  .

（2）设图象 F_n、F_n+1 的顶点分别为 T_n、T_n+1 （n 为正整数），x 轴上一点 Q 的坐标为（12，0）．试探究： 当 a 为何值时，以 O、 T_n、T_n+1 、Q 四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时 n 的值．

Answer

（1）①（﹣1，1）；②不在， y =（x﹣201）2﹣1 ，200≤x≤202；（2）a=﹣，故此时 n 的值为 4．

【解析】

（1）①a=-1代入抛物线的解析式，然后令y=可求得对应的x的值，从而可得到p1的坐标，然后依据平移的方向和距离可得到点P2的坐标，接下来，利用配方法可求得抛物线的顶点F1的坐标②根据该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和-1即可得出结论；

（2）设OQ中点为O′，则线段TnTn+1经过O′，再根据图形平移的性质即可得出结论．

（1）①当a=-1时，y=ax2+2ax=-x2-2x．

令-x2-2x=0，解得：x=0或x=-2．

∴点P1的坐标为（-2，0）．

由平移的性质可知P2的坐标为（2，0）．

∵y=-x2-2x=（x+1）2+1，

∴图象F1的顶点坐标为：（-1，1）；

②∵该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和-1，

∴点H（2015，-2），不在该“波浪抛物线”上，

∵图象Fn的顶点Tn的横坐标为201，

201÷4=50…1，故其图象与F2，F4…形状相同，

则图象Fn对应的解析式为：y=（x-201）2-1，

其自变量x的取值范围为：200≤x≤202．

（2）设OQ中点为O′，则线段TnTn+1经过O′，

由题意可知OO′=O′Q，O′Tn=O′Tn+1，

∴当TnTn+1=OQ=12时，四边形OTnTn+1Q为矩形，

∴O′Tn+1=6，

∵F1对应的解析式为y=a（x+1）2-a，

∴F1的顶点坐标为（-1，-a），

∴由平移的性质可知，点Tn+1的纵坐标为-a，

∴由勾股定理得（-a）2+（-1）2=62，

∴a=±，

∵a＜0，

∴a=﹣ ，故此时 n 的值为 4．