Question

如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．

（1）求证：AD垂直平分EF；

（2）若∠BAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）AG=3DG，理由见解析.

【解析】试题(1)、根据角平分线的性质得出DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，从而得出∠DEF=∠DFE，则∠AEF=∠AFE，从而说明AE=AF，即点A、D都在EF的垂直平分线上，得出答案；(2)、根据∠BAC=60°，AD平分∠BAC得出AD=2DE，根据∠EGD=90°，∠DEG=30°得出DE=2DG，从而说明AD=4DG，即AG=3DG.

试题解析：(1)、∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，

∴∠DEF=∠DFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF ∴点A、D都在EF的垂直平分线上，

∴AD垂直平分EF．

(2)、AG=3DG．

∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=30°，∴AD=2DE，∠EDA=60°，

∵AD⊥EF，∴∠EGD=90°，∴∠DEG=30° ∴DE=2DG，∴AD=4DG， ∴AG=3DG．