Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC为直角，以AB为直径作⊙O交AC于点D，点E为BC中点，连结DE，DB

（1）求证：DE与⊙O相切；

（2）若∠C＝30°，求∠BOD的度数；

（3）在（2）的条件下，若⊙O半径为2，求阴影部分面积．

Answer

（1）证明见解析；

（2）∠BOD＝120°；

（3）S阴影部分＝

【解析】

试题(1)、连接OD，根据直径得出∠BDC=90°，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出∠BDE=∠DBE，根据OD=OB得出∠ODB=∠OBD，从而得出∠ODE为直角，得出切线；(2)、根据直角三角形的性质得出∠DEB=60°，根据四边形OBED的内角和得出∠BOD的度数；(3)、根据阴影部分的面积等于四边形OBED的面积减去扇形OBD的面积得出答案.

试题解析：（1）连结OD，∵AB为⊙O为直径 ∴∠ADB＝90°则∠BDC＝90°，

又∵E是斜边BC的中点 ∴DE＝BE＝CE， ∴∠BDE＝∠DBE

∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD

∴∠ODE＝∠ODB＋∠BDE＝∠OBD＋∠DBE＝∠ABC＝90°

即DE与⊙O相切

（2）若∠C＝30°而DE＝CE ∴∠DEB＝60°

在四边形OBED中， 则∠BOD＝360°－90°－90°－60°＝120°

（3）连结OE，则∠OED＝∠OEB＝30°

∵OD＝OB＝2 ∴DE＝BE＝2

∴S阴影部分＝S四边形OBED－S扇形OBD＝S△OBE＋S△ODE－S扇形OBD

＝2＋2－＝4－