Question

(1)如图①,在△ABC中,已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F.请写出图中的等腰三角形,并找出EF与BE、CF间的关系;

(2) 如图②中∠ABC的平分线与三角形ABC的外角∠ACG的平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有等腰三角形吗?如果有,请写出来.EF与BE、CF间的关系如何?请说明理由.

Answer

(1)等腰三角形有△EBO和△CFO,EF=BE+CF；(2)有等腰三角形,它们分别是△EBO和△CFO.EF=BE-CF.理由见解析.

【解析】

（1）由EF∥BC可得∠EOB=∠OBC，由OB平分∠ABC可得∠EBO=∠OBC，由此得到∠EOB=∠EBO，然后即可证明△BEO是等腰三角形，同理可证：△CFO是等腰三角形；根据等腰三角形的性质求得OE=EB，OF=FC，从而证得EF=BE+FC；

（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质进行角之间的等量代换，根据等边对等角，发现两个等腰三角形：△BOE和△COF，即可得出所求的结论．

(1)等腰三角形有△EBO和△CFO,EF=BE+CF.

(2)有等腰三角形,它们分别是△EBO和△CFO.

EF=BE-CF.

理由:∵BO平分∠ABC,

∴∠ABO=∠OBC.

∵OE∥BC,

∴∠EOB=∠OBC,

∴∠EOB=∠EBO,

∴BE=EO.

同理,CF=OF,

∵EO=EF+OF,

∴EF=EO-OF=BE-CF.