Question

观察下列等式：（1）13＝×12×22；（2）13+23＝×22×32；（3）13+23+33＝×32×42；（4）13+23+33+43＝×42×52；

根据上述等式的规律，解答下列问题：

（1）写出第5个等式：_____；

（2）写出第n个等式（用含有n的代数式表示）；

（3）设s是正整数且s≥2，应用你发现的规律，化简：×s²×（s+1）2﹣×（s﹣1）²×s²．

Answer

(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）根据从1开始的连续整数的立方和等于最后两个整数的平方积的可得；

（2）根据以上规律可得；

（3）利用所得规律将原式变形为13+23+33+43+…+s3-[13+23+33+43+…+（s-1）3]，据此计算可得．

（1）第5个等式为13+23+33+43+53＝×52×62，

故答案为：13+23+33+43+53＝×52×62．

（2）第n个等式为13+23+33+43+…+n3＝×n2×（n+1）2；

（3）原式＝13+23+33+43+…+s3﹣[13+23+33+43+…+（s﹣1）3]，

＝13+23+33+43+…+s3﹣13﹣23﹣33﹣43﹣…﹣（s﹣1）3，

＝s3．