Question

如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A₁、B₁、C₁、D₁，顺次连接得到四边形A₁B₁C₁D₁，再取各边中点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接得到四边形A₂B₂C₂D₂，…，依此类推，这样得到四边形A_nB_nC_nD_n，则四边形A_nB_nC_nD_n的面积为（    ）

A.     B.     C.     D. 不确定

Answer

B

【解析】根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1=AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的，依此类推可得四边形AnBnCnDn的面积．

【解析】
∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，

∴A1B1∥AC，A1B1=AC，

∴△BA1B1∽△BAC，

∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，

又∵四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，

∴四边形ABCD的面积是16，

∴SA1B1C1D1=×16，

∴四边形AnBnCnDn的面积=16×=．