Question

已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°．

（1）如图①，若D为弧AB的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；

（2）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．

Answer

（1）∠ABC=52°，∠ABD=45°；（2）∠OCD=26°.

【解析】

（1）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小；

（2）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小．

（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB﹣∠BAC＝90°﹣38°＝52°．

∵D为的中点，∠AOB＝180°，∴∠AOD＝90°，∴∠ABD＝45°；

（2）连接OD．

∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°，由DP∥AC，又∠BAC＝38°，∴∠P＝∠BAC＝38°．

∵∠AOD是△ODP的一个外角，∴∠AOD＝∠P+∠ODP＝128°，∴∠ACD＝64°．

∵OC＝OA，∠BAC＝38°，∴∠OCA＝∠BAC＝38°，∴∠OCD＝∠ACD﹣∠OCA＝64°﹣38°＝26°．