Question

某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：

（1）直接写出y与x的函数关系式：

（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？

（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的货款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？

Answer

（1）y＝﹣10x+1000，（x≥50）；（2）S=＝﹣10x2+1400x﹣40000，当50＜x＜70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；（3）8750．

【解析】

由图表可知，y与x满足一次函数关系，设y＝kx＋b，将表格中的两组数据代入得，，②－①得，10k＝-100，解得k＝-10，将k＝-10代入①得，b＝1000，故y＝-10x＋1000.

根据利润等于售价减去进价即可求出S与x的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求出一周的销售利润随着销售单价的增大而增大时，销售单价的范围.

根据当x≥70时，一周的销售利润随着销售单价的增大而减小，将x＝75代入（2）中的关系式求解即可.

（1）设y＝kx+b，由题意得：，解得：，则函数关系式为：y＝﹣10x+1000，（x≥50）

（2）由题意得：S＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）

＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000．

∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当50＜x＜70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；

（3）∵由40（﹣10x+1000）≤10000

解得x≥75

又由于最大进货量为：y＝10000÷40＝250

由题意可知，当x＝75时，可以销售250件商品，结合图形，故此时利润最大．

S＝250×（75﹣40）＝8750（元）

故该商家在10000元内的进货条件下，最大捐款为8750元．