Question

点P为拋物线为常数，）上任意一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的图象与轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．

（1）抛物线的对称轴是直线________，当m=2时，点P的横坐标为4时，点Q的坐标为_________；

（2）设点Q请你用含m，的代数式表示则________；

（3）如图，点Q在第一象限，点D在轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，当AQ=2QC，QD=时，求的值．

Answer

（1）x=m，Q（-2,2）；（2）a=m-；（3）m=1.

【解析】

（1）配方即可得出抛物线的对称轴；根据m的值确定出原抛物线的解析式，进而可求得P、G的坐标，过P作PE⊥x轴于E，过Q作QF⊥x轴于F，根据旋转的性质知：△GQF≌△PGE，则QF＝GE、PE＝GF，可据此求得点Q的坐标．

（2）已知Q点坐标，即可得到QF、FG的长，仿照（1）的方法可求出点P的坐标，然后代入原抛物线的解析式中，可求得a、b、m的关系式．

（3）延长QC到E，使得QC＝CE，那么AQ＝QE，可证△QCD≌△ECO，那么QD＝OE＝m，而AQ＝QE，且QO平分∠AQC，易证得△AQO≌△EQO，则OA＝OE＝m，即A点坐标为（0，m），然后将点A的坐标代入（2）的关系式中，即可求得m的值．

（1）=，对称轴为直线x=m．

当m＝2时，y＝（x﹣2）2，则G（2，0）．

∵点P的横坐标为4，且P在抛物线上，∴将x＝4代入抛物线解析式得：y＝（4﹣2）2＝4，∴P（4，4），如图，连接QG、PG，过点Q作QF⊥x轴于F，过点P作PE⊥x轴于E，依题意，可得：△GQF≌△PGE，则FQ＝EG＝2，FG＝EP＝4，∴FO＝2，∴Q（﹣2，2）．

（2）已知Q（a，b），则GE＝QF＝b，FG＝m﹣a．

由（1）知：PE＝FG＝m﹣a，GE＝QF＝b，即P（m+b，m﹣a），代入原抛物线的解析式中，得：m﹣a＝（m+b）2﹣2m（m+b）+m2，m﹣a＝m2+b2+2mb﹣2m2﹣2mb+m2，a＝m﹣b2，故用含m，b的代数式表示a：a＝m﹣b2．

（3）如图，延长QC到点E，使CE＝CQ，连接OE．

∵C为OD中点，∴OC＝CD．

∵∠ECO＝∠QCD，∴△ECO≌△QCD，∴OE＝DQ＝m．

∵AQ＝2QC，∴AQ＝QE．

∵QO平分∠AQC，∴∠1＝∠2，∴△AQO≌△EQO，∴AO＝EO＝m，∴A（0，m）．

∵A（0，m）在新图象上，∴0＝m﹣m2，∴m1＝1，m2＝0（舍），∴m＝1．