Question

如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG②BG＝CG③AG∥CF④S_△FGC＝3⑤∠AGB+∠AED＝135°．其中正确的个数是（　　）

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

Answer

C

【解析】

根据对折变换的性质 正方形的性质可证明①，在直角三角形ECG中通过计算可证明②，根据平行线的判定可以证明③，可根据三角形相似求出相似比继而求得三角形FGC的面积进行比较，可由五边形的内角和求出

∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确．

∵EF＝DE= CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．

在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，

解得x＝3．

∴BG＝3＝6﹣3＝GC，故②正确．

∵CG＝BG＝GF，

∴△FGC是等腰三角形，

∴∠GFC＝∠GCF，

又∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF，

∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，

∴AG∥CF，故③正确，

过F作FH⊥DC，

∵BC⊥DH，

∴FH∥GC，

∴△EFH∽△EGC，

∴ =

EF＝DE＝2，GF＝3，

∴EG＝5，

∴△EFH∽△EGC，

∴相似比为: ==

∴S△FGC＝S△GCE﹣S△FEC＝ ×3×4- ×4×( ×3)= ≠3．故④错误，

在五边形ABGED中，∠BGE+∠GED＝540°﹣90°﹣90°﹣90°＝270°，

即2∠AGB+2∠AED＝270°，

∴∠AGB+∠AED＝135°，故⑤正确