Question

如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，连接DE、DF．

(1)试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论．

(2)若AE=5，AD=8，求EF的长．

(3)△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？

Answer

(1) 四边形AEDF是菱形，证明见解析；(2)6；(3) 当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形.

【解析】

（1）由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF；（2）由（1）知菱形AEDF对角线互相垂直平分，故AO=AD=4，根据勾股定理得EO=3，从而得到EF=6；（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．

(1)四边形AEDF是菱形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

又∵EF⊥AD，

∴∠AOE=∠AOF=90°

∵在△AEO和△AFO中

∵，

∴△AEO≌△AFO（ASA），

∴EO=FO，

∵EF垂直平分AD，

∴EF、AD相互平分，

∴四边形AEDF是平行四边形

又EF⊥AD，

∴平行四边形AEDF为菱形；

(2)∵EF垂直平分AD，AD=8，

∴∠AOE=90°，AO=4，

在RT△AOE中，∵AE=5，

∴EO==3，

由(1)知，EF=2EO=6；

(3)当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；

∵∠BAC=90°，

∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．