Question

已知关于x的方程x²+mx+m−2=0.

(1)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

(2)若该方程的一个根为1，求该方程的另一根。

Answer

(1)证明见解析；（2）该方程的另一根为.

【解析】

（1）由根的判别式可得出△=（m﹣2）2+4＞0，由此即可证出结论；

（2）将x=1代入原方程，得出关于m的一元一次方程，解方程求出m的值，将其代入原方程得出关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣=﹣，由此即可得出方程的另一根．

（1）∵在关于x的方程x2+mx+m﹣2=0中：△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

（2）将x1=1代入方程x2+mx+m﹣2=0中得：

1+m+m﹣2=0，解得：m=，∴原方程为x2+x﹣=0，∴x1+x2=﹣=﹣．

∵x1=1，∴x2=﹣．

故若该方程的一个根为1，该方程的另一根为﹣．