Question

如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD． 

（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．   

（2）如果△ABC的面积为5cm²  ， 求四边形ABDE的面积．   

（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．   

Answer

（1）见解析;（2）20cm2;（3）∠ACB=60°时，四边形ABDE为矩形, 理由见解析.

【解析】

（1）根据中心对称的性质可得AC=CD，BC=CE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形ABDE是平行四边形，再根据平行四边形的对边互相平行且相等解答；

（2）根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答；

（3）∠ACB=60°．先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC=BC，然后求出AD=BE，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明．

（1）∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，

∴AC=CD，BC=CE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AE与BD平行且相等；

（2）∵四边形ABDE是平行四边形，

∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE，

∵△ABC的面积为5cm2，

∴四边形ABDE的面积=4×5=20cm2；

（3）∠ACB=60°时，四边形ABDE为矩形．

理由如下：∵AB=AC，∠ACB=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AD=2AC，BE=2BC，

∴AD=BE，

∴四边形ABDE为矩形．