Question

如图，矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，延长AB到G，使BG＝AB，连接GO并延长，交BC于E，交AD于F，且AC＝2AB，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形．

Answer

见解析

【解析】

连接CG，推出∠ACB=30°，∠BAC=60°，证△ACG是等边三角形，得到AG=CG，推出EF⊥AC，证△AOF≌△COE，推出CE=AF，根据菱形的判定得到四边形AECF是菱形即可．

证明：连接CG，

∵在矩形ABCD中AC＝2AB，

∴∠CAG＝60°，

∵BG＝AB，

∴AG＝AC，

∴△ACG是等边三角形，

∵O为AC的中点，

∴GF⊥AC，

∵在矩形ABCD中，BC‖AD，

∴∠DAC＝∠BCA，AO＝OC，∠AOF＝∠COE＝90°，

∴△AOF≌△COE，

∴CE＝AF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．