Question

如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，连接．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标；

（2）点 在抛物线上，连接 ，当 时，求点的坐标；

（3）点从点出发，沿线段由向运动，同时点从点出发，沿线段由向运动， 、的运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，、同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点，使、运动过程中的某一时刻，以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）（2），或（3）或或

【解析】

（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点C的坐标；
（2）满足条件的点M有两种情形，需要分类讨论：
①当BM⊥BC时，如答图2-1所示；
②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2-2所示．
（3）△CPQ的三边均可能成为菱形的对角线，以此为基础进行分类讨论：
①若以CQ为菱形对角线，如答图3-1．此时BQ=t，菱形边长=t；
②若以PQ为菱形对角线，如答图3-2．此时BQ=t，菱形边长=t；
③若以CP为菱形对角线，如答图3-3．此时BQ=t，菱形边长=5-t．

【解析】
直线解析式，

令，得；

令，得．

∴、．

∵点、在抛物线上，

∴，

解得，

∴抛物线解析式为：．

令，

解得：或，

∴．，

设，

①当时，如答图所示．

∵，

∴，故点满足条件．

过点作轴于点，则，，

∴．

∵，

∴，

∴直线的解析式为：．

联立与，

得：，

解得：，，

∴，，

∴；

②当与关于轴对称时，如答图所示．

∵，，

∴，

故点满足条件．

过点作轴于点，

则，，

∴．

∵，

∴，

∴直线的解析式为：．

联立与得：，

解得：，，

∴，，

∴．

综上所述，满足条件的点的坐标为：或．

设，则，，．

假设存在满足条件的点，设菱形的对角线交于点，设运动时间为．

①若以为菱形对角线，如答图．此时，菱形边长．

∴．

在中，，

解得．

∴．

过点作轴于点，

则，，

∴．

∴．

∵点与点横坐标相差个单位，

∴；

②若以为菱形对角线，如答图．此时，菱形边长．

∵，

∴，点为中点，

∴．

∵点与点横坐标相差个单位，

∴；

③若以为菱形对角线，如答图．此时，菱形边长．

在中，，

解得．

∴，．

∴．

综上所述，存在满足条件的点，点坐标为：或或．