Question

已知：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．

（1）求证：PD是⊙O的切线．

（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的长．

Answer

证明：（1）∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

又∵OP=OB，∠OPB=∠B，

∴∠C=∠OPB，

∴OP∥AD；

又∵PD⊥AC于D，

∴∠ADP=90°，

∴∠DPO=90°，

∴PD是⊙O的切线．

【解析】
（2）连接AP，

∵AB是直径，

∴∠APB=90°；

∵AB=AC=2，∠CAB=120°，

∴∠BAP=60°，

∴BP=，

∴BC=2．

【解析】

试题(1)、根据AB=AC得到∠B=∠C，根据OP=OB得出∠B=∠OPB，从而说明∠C=∠OPB，可以得出OP∥AC，根据PD⊥AC得出∠OPD=90°，即为切线；(2)、连接AP，根据直径得出∠APB=90°，根据∠BAC的度数求出∠C和∠B的度数，根据Rt△APB求出AP和BP的长度，然后得出BC的长度.

试题解析：(1)、连接OP. ∵AB=AC ∴∠C=∠B ∵OP=OB ∴∠OPB=∠B ∴∠C=∠OPB

∴OP∥AC ∴∠OPD=∠PDC ∵PD⊥AC于点D ∴∠PDC=90° ∴∠OPD=90°，即：OP⊥PD

∵OP为⊙O半径 ∴PD是O切线

(2)、连接AP. ∵AB为⊙O直径 ∴∠APB=90°,即：AP⊥BC

∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠C=∠B=30°,BP=PC=BC

∵在Rt△APB中，∠B=30° ∴AP=AB=1

∴BP=∴BC=2BP=2