Question

如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．

(1)求证：∠DAC=∠DCE；

(2)若AB=2，sin∠D=，求AE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；

（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=，于是可求得AE=．

试题解析：（1）∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°．

∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．

∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B．

∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．

又∵∠DCE=∠OCB，∴∠DAC=∠DCE．

（2）∵AB=2，∴AO=1．

∵sin∠D=，∴OD=3，DC=2．

在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==．

∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA，∴，即．

解得：DE=，∴AE=AD﹣DE=．