Question

如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA,OB的长是关于x的一元二次方程的两个根，且OA>OB.

（1）若点E为x轴上的点，且△AOE的面积为.

求：①点E的坐标；②证明：△AOE∽△DAO;

（2）若点M在平面直角坐标系中，则在直线AB上是否存在点F，使以A,C,F,M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标;若不存在，请说明理由.

Answer

（1）①或；②详见解析；（2）

【解析】

（1）①解一元二次方程求出OA，OB的长度，根据三角形的面积求出点E的坐标.
②分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
（2）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．

(1)

(x−3)(x−4)=0，

∴x−3=0，x−4=0，

解得

∵OA>OB，

∴OA=4，OB=3，

∵

∴

∴

∵点E在x轴上

∴E点的坐标为或

②在△AOE与△DAO中, AD=6，

∴

又∵

∴△AOE∽△DAO；

(2)根据计算的数据，OB=OC=3，

∴AO平分∠BAC，

①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，

所以点F与B重合，

即F(−3,0)，

②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，

点F(3,8).

③AC是对角线时,做AC垂直平分线L,AC解析式为,直线L过 且k值为 (平面内互相垂直的两条直线k值乘积为−1)，

L解析式为 联立直线L与直线AB求交点，

∴F;

④AF是对角线时,过C做AB垂线,垂足为N,根据等积法求出勾股定理得出,A做A关于N的对称点即为F,过F做y轴垂线,垂足为G,

∴F

综上所述,满足条件的点有四个：