Question

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50° ，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC＝90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．

（1）求∠AEB的度数；

（2）求证：∠AEB＝∠ACF；

（3）若AB＝4，求的值．

 

Answer

（1）20°；（2）32.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的旋转得出∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF，根据SAS推出△BAF≌△CAF，根据全等得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案；
（3）根据全等得出BF=CF，求出∠CFG=∠EAG=90°，根据勾股定理求出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，EC2=AC2+AE2，即可得出答案．

（1）∵AB＝AC，AC＝AE．

∴AB＝AE，

∴∠AEB＝∠ABE．

∵∠BAC＝50°，∠CAE＝90°，

∴∠BAE＝50°＋90°＝140°．

∴∠AEB＝．

（2）∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴∠BAF＝∠CAF．

∴△ABF≌△ACF．

∴∠ABF＝∠ACF．

∵∠AEB＝∠ABE，

∴∠AEB＝∠ACF．

（3）∵∠AEB＝∠ACF ，∠AGE＝∠CGF，

∴∠CFE＝∠CAE＝90°．

∴．

∵CF＝BF，

∴．

∵，

∴．