Question

已知关于x的一元二次方程（a+4）x²+（a²+2a+10）x﹣6（a+1）＝0有一根为﹣1．

（1）求a的值；

（2）x₁，x₂是关于x的方程x²﹣（a+m+2）x+m²+m+2a+1＝0的两个根，已知x₁x₂＝1，求x₁²+x₂²的值．

Answer

（1）a＝﹣3；（2）2．

【解析】

（1）将x=-1代入方程，求得a的值，再根据一元二次方程的定义取舍可得；

（2）将a的值代入方程，根据x1x2=1可得m的值，再由方程有两根取舍可得m的准确数值，从而还原方程得出x1+x2的值，由x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2可得答案．

（1）将x=-1代入方程，得：a+4-a2-2a-10-6a-6=0，

整理，得：a2+7a+12=0，

解得：a=-3或a=-4，

又a+4≠0，即a≠-4，

∴a=-3．

（2）将a=-3代入方程，得：x2-（m-1）x+m2+m-5=0，

由题意知x1+x2=m-1，x1x2=m2+m-5，

∵x1x2=1，

∴m2+m-5=1，即m2+m-6=0，

解得m=2或m=-3，

当m=2时，方程为x2-x+1=0，此方程无解；

当m=3时，方程为x2-2x+1=0，此方程有解，且x1+x2=2，

则x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2

=4-2

=2．