Question

如图，在⊙O中，半径OC＝6，D为半径OC上异于O，C的点，过点D作AB⊥OC，交⊙O于A，B，点E在线段AB上，AE＝CE，点P在线段EC的延长线上，PB＝PE．

（1）若OD＝2，求弦AB的长；

（2）当点D在线段OC（不含端点）上移动时，直线PB与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；

（3）点Q是⊙O上的一个动点，若点D为OC中点时，线段PQ的最小值为多少？请说明理由．

Answer

（1）；（2）PB与⊙O相切；（3）．

【解析】

（1）连接OB，由OB=OC=6，OD=2，利用勾股定理可得BD的长，根据垂径定理可得答案；

（2）连接OB，OA，OE，先证△AOE≌△COE得∠OAE=∠OCE，结合∠OBA=∠OAB知∠OCE=∠OBA，根据PB=PE知∠PBE=∠PEB，根据∠OCE+∠PEB=90°得∠OBA+∠PBE=90°，由切线的判定可得答案；

（3）先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．

（1）如图1，连接OB，

∵OB=OC=6，OD=2，

∴BD=，

则AB=2BD=8；

（2）如图2，连接OB，OA，OE，

∵OB=OA=OC，

∴∠OBA=∠OAB，

又∵OE=OE，AE=CE，

∴△AOE≌△COE（SSS），

∴∠OAE=∠OCE，

∴∠OCE=∠OBA，

∵PB=PE，

∴∠PBE=∠PEB，

∵AB⊥CD，

∴∠OCE+∠PEB=90°，

∴∠OBA+∠PBE=90°，即∠PBO=90°，

∴OB⊥PB，

又OB是⊙O的半径，

∴PB与⊙O相切；

（3）线段PQ的最小值为2-6，理由如下：

∵D为OC的中点，

∴OD=OC=OB，

在Rt△OBD中，∠OBD=30°，

∴∠BOC=60°，

∵OB=OC，

∴△BOC是等边三角形，

∵Q为⊙O任意一点，

连接PQ、OQ，

因为OQ为半径，是定值4，

则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，

当P、Q、O三点共线时，PQ最小，

∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，

∠A=∠COB=30°，

∴∠PEB=2∠A=60°，

∠ABP=90°-30°=60°，

∴△PBE是等边三角形，

Rt△OBD中，BD==3

∴AB=2BD=6，

设AE=x，则CE=x，ED=3-x，

Rt△CDE中，x2=32+（3-x）2，

解得：x=2，

∴BE=PB=6-2=4，

Rt△OPB中，OP=，

∴PQ=2-6，

则线段PQ的最小值是2-6．