Question

已知抛物线y＝x²﹣2mx+m²﹣3（m是常数）．

（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；

（2）设抛物线的顶点为A，与x轴两个交点分别为B，D，B在D的右侧，与y轴的交点为C．

①求证：当m取不同值时，△ABD都是等边三角形；

②当|m|≤，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②．

【解析】

（1）令y=0可得出关于x的一元二次方程，由该方程的根的判别式△=12＞0，可证出：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；

（2）利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B，C，D的坐标．

①在Rt△ABE中，利用勾股定理可得出AB=2BE可得出∠BAE=30°，同理，可得出∠DAE=30°及∠BAD=60°，再结合AB=AD即可证出：当m取不同值时，△ABD都是等边三角形；

②分0＜m≤及-≤m＜0两种情况找出S△ABC关于m的函数关系式，利用二次函数的性质或一次函数的性质求出S△ABC的最大值，比较后即可得出结论．

（1）证明：令y=0，则有x2-2mx+m2-3=0．

∵△=（-2m）2-4×1×（m2-3）=12＞0，

∴关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-3=0有两个不相等的实数根，

∴无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；

（2）【解析】
∵y=x2-2mx+m2-3=（x-m）2-3，

∴顶点A的坐标为（m，-3），

设抛物线对称轴与x轴的交点为E，则点E的坐标为（m，0）；

当x=0时，y=x2-2mx+m2-3=m2-3，

∴点C的坐标为（0，m2-3）；

当y=0时，x2-2mx+m2-3=0，即（x-m）2=3，

解得：x1=m-，x2=m+，

∴点D的坐标为（m-，0），点B的坐标为（m+，0）．

①证明：在Rt△ABE中，AE=3，BE=m+-m=，

∴AB==2=2BE，

∴∠BAE=30°．

同理，可得出：∠DAE=30°，

∴∠BAD=∠BAE+∠DAE=60°．

又∵AB=AD，

∴当m取不同值时，△ABD都是等边三角形．

②分两种情况考虑：

（i）当0＜m≤时，如图2所示．

S△ABC=S梯形OCAE+S△ABE-S△OCB，

=OE•（OC+AE）+AE•BE-OC•OB，

=m•（3-m2+3）+×3×（m+-m）-（3-m2）（m+），

=m2+m=（m+）2-，

∵＞0，

∴当0＜m≤时，S△ABC随m的增大而增大，

∴当m=时，S△ABC取得最大值，最大值为3；

（ii）当-≤m＜0时，如图3所示．

S△ABC=S梯形EACO+S△OCB-S△ABE，

=OE•（OC+AE）+OC•OB-AE•BE，

=-m•（3-m2+3）+（3-m2）（m+）-（m+-m）（3-m2）=-m，

∵-＜0，

∴当-≤m＜0时，S△ABC随m的增大而减小，

∴当m=-时，S△ABC取得最大值，最大值为．

∵3＞，

∴当m=时，△ABC的面积取得最大值，最大值为3．