Question

在一次“探究性学习”课中，老师设计如下数表：

n	2	3	4	5	6	…
a	2^2﹣1	3^2﹣1	4^2﹣1	5^2﹣1		…
b	4	6	8	10		…
c	2^2+1	3^2+1	4^2+1	5^2+1		…

（1）观察表格，根据规律在表中填空．

（2）用含自然数n（n＞1）的代数式表示a、b、c，则a＝　   　，b＝　   　，c＝　   　．

（3）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．

Answer

(1) 62﹣1,12, 62+1;(2) a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1；(3) 以a，b，c为边的三角形是直角三角形．理由见解析

【解析】

（1）观察表格，即可得出n＝6时a、b、c的值；

（2）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2，加减1，即可得出答案；

（3）利用完全平方公式计算出a2+b2的值，以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．

（1）由图表可以得出：

∵n＝2时，a＝22﹣1，b＝2×2，c＝22+1，

n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1，

n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1，

n＝5时，a＝52﹣1，b＝2×5，c＝52+1，

∴n＝6时，a＝62﹣1，b＝12，c＝62+1；

（2）a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1；

（3）以a，b，c为边的三角形是直角三角形．理由如下：

∵a2+b2＝（n2﹣1）+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝（n2+1）2＝c2，

∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．

故答案为62﹣1，12，62+1；n2﹣1，2n，n2+1．