Question

如图1，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE＝CD，EP∥AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP＝∠ACB．

（1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；

（2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）．当∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2时，求线段PE的长．

Answer

（1）见解析；（2）6

【解析】

（1）先证△CBD∽△ABC，再转化比例线段即可得出答案；

（2）利用平行线的性质、30度角所对的直角边等于斜边的一半、三角形中位线定理即可得出答案.

【解析】
（1）AC=BF．证明如下：

如图1，∵∠ADP=∠ACD+∠A，∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ADP=∠ACB，

∴∠BCD=∠A，

又∵∠CBD=∠ABC，

∴△CBD∽△ABC，

∴，①

∵FE∥AC，

∴，②

由①②可得，，

∵BE=CD，

∴BF=AC；

（2）如图2，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，

∴∠ACB=30°=∠ADP，

∴∠BCD=60°，∠ACD=60°﹣30°=30°，

∵PE∥AC，

∴∠E=∠ACB=30°，∠CPE=∠ACD=30°，

∴CP=CE，

∵BE=CD，

∴BC=DP，

∵∠ABC=90°，∠D=30°，

∴BC=CD，

∴DP=CD，即P为CD的中点，

又∵PF∥AC，

∴F是AD的中点，

∴FP是△ADC的中位线，

∴FP=AC，

∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，

∴AB=AC，

∴FP=AB=2，

∵DP=CP=BC，CP=CE，

∴BC=CE，即C为BE的中点，

又∵EF∥AC，

∴A为FB的中点，

∴AC是△BEF的中位线，

∴EF=2AC=4AB=8，

∴PE=EF﹣FP=8﹣2=6．