Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

1.求证：PC是⊙O的切线；

2.求证：BC=AB

3.点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

Answer

（1）、证明过程见解析；（2）、证明过程见解析；（3）、8.

【解析】

（3）连接MA、MB

点M是AB的中点，AM＝BM，

∴∠ACM＝∠BCM（7分）

而∠ACM＝∠ABM, ∴∠BCM＝∠ABM,而∠BMN＝∠BMC

∴△MBN～△MCB,

∴MN·MC＝BM.BM（8分）

又∵AB是⊙O的直径，AM＝BM

∴∠AMB＝90°，AM＝BM

∵AB＝4,BM＝（9分）

∴MN·MC＝BM2＝8（10分）