Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．

（1）求抛物线解析式；   

（2）如图②，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长.

Answer

（1）y= x2+ x+3；（2）OD=1.

【解析】

（1）利用待定系数法求得即可；

（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的长

（1）【解析】
如图1，

∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，

∴ ，

解得 ．

∴抛物线解析式为y= x2+ x+3

（2）【解析】
如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），

∴F的纵坐标为3，

把y=3代入y= x2+ x+3得，3= x2+ x+3；

解得x=0或x=4，

∴F（4，3）

∴OH=4，

∵∠CDE=90°，

∴∠ODC+∠EDH=90°，

∴∠OCD=∠EDH，

在△OCD和△HDE中，

，

∴△OCD≌△HDE（AAS），

∴DH=OC=3，

∴OD=4﹣3=1；