Question

某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．

（1）求证：AP=CQ；

（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；

（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．

Answer

（1）证明见解析；

（2）PE=QE，理由见解析；

（3）PE的长为3.4．

【解析】试题(1)、根据正方形的性质得出∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4，结合∠PDQ=90°得出∠ADP=∠CDQ，从而说明△APD和△CQD全等，从而得出答案；(2)、根据全等得出PD=QD，根据DE为角平分线得出∠PDE=∠QDE，从而说明△PDE和△QDE全等，得出答案；(3)、根据(2)得出PE=QE，根据(1)得出CQ=AP=1。从而得到BQ=5，BP=3，设PE=QE=x，然后利用Rt△BPE的勾股定理得出x的值，得出答案.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4， ∵∠PDQ=90°，

∴∠ADP=∠CDQ，

在△APD和△CQD中， ∴△APD≌△CQD（ASA）， ∴AP=CQ；

（2）PE=QE，

理由如下：由（1）得：△APD≌△CQD， ∴PD=QD， ∵DE平分∠PDQ，∴∠PDE=∠QDE，

在△PDE和△QDE中 ∴△PDE≌△QDE（SAS）， ∴PE=QE；

（3）由（2）得：PE=QE，由（1）得：CQ=AP=1， ∴BQ=BC+CQ=5，BP=AB﹣AP=3，

设PE=QE=x，则BE=5﹣x， 在Rt△BPE中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2=x2，

解得：x=3.4， 即PE的长为3.4．