Question

如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是________．

Answer

4.5

【解析】

设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1 ， 此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1 ， 求出OP1 ， 如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=2.5+1.5=4，由此不难解决问题．

如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1 ，

∵AB=5，AC=4，BC=3，

∴AB2=AC2+BC2 ，

∴∠C=90°，

∵∠OP1B=90°，

∴OP1∥AC

∵AO=OB，

∴P1C=P1B，

∴OP1= AC=2，

∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=0.5，

如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，

P2Q2最大值=2.5+1.5=4，

∴PQ长的最大值与最小值的和是4.5．

故答案为：4.5．