Question

如图，已知BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，∠B＝2∠CAD，在BC的延长线上有一点P，使得∠P＝∠ACB，弦AD交直径BC于点E．

（1）求证：DP与⊙O相切；

（2）判断△DCE的形状，并证明你的结论；

（3）若CE＝2，DE＝，求线段BC的长度．

Answer

（1）证明见解析；（2）△DCE是等腰三角形，证明见解析；（3）10.

【解析】

（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠DOP=2∠DAC，等量代换得到∠COD=∠B，根据圆周角定理得到∠BAC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）根据圆周角定理和三角形的内角和即可得到结论；

（3）根据相似三角形的性质得到，于是得到OC==5，即可得到结论．

（1）连接OD，

∴∠DOP＝2∠DAC，

∵∠B＝2∠CAD，

∴∠COD＝∠B，

∵∠P＝∠ACB，

∴∠ODP＝∠BAC，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°，

∴∠ODP＝90°，

∴DP与⊙O相切；

（2）△DCE是等腰三角形，

理由：∵∠B＝∠COD，∠BOD＝180°﹣∠COD，∠BAD+∠AEB＝180°﹣∠B，

∴∠BOD＝∠BAD+∠AEB，

∵∠BAD＝∠BOD，

∴∠AEB＝∠BOD，

∴∠BAD＝∠AEB，

∵∠DCE＝∠BAE，∠CED＝∠AEB，

∴∠CED＝∠DCE，

∴△DCE是等腰三角形；

（3）∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∵DE＝DC，

∴∠OCD＝∠CED，

∴∠DEC＝∠DCE＝∠OCD＝∠ODC，

∴△DCE∽△OCD，

∴，

∵CE＝2，DE＝，

∴CD＝DE＝，

∴OC＝＝5，

∴BC＝2OC＝10．