Question

已知抛物线y＝ax²+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；

(3)点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD²表示成自变量n的函数，并求出MD²取得最小值时点M的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（0，1+）；（3）MD2＝n2﹣n+4；点M的坐标为（ ，）或（，）．

【解析】

（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥x轴于点F，根据旋转的性质及同角的余角相等，可证出△ODP≌△FED（AAS），由抛物线的解析式可得出点D的坐标，进而可得出OD的长度，利用全等三角形的性质可得出EF的长度，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出DF，OP的长，结合点P在y轴正半轴即可得出点P的坐标；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出m2﹣2m＝3﹣n，根据点D，M的坐标，利用两点间的距离公式可得出MD2＝n2﹣n+4，利用配方法可得出当MD2取得最小值时n的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出当MD2取得最小值时点M的坐标．

（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）过点E作EF⊥x轴于点F，如图所示．

∵∠OPD+∠ODP＝90°，∠ODP+∠FDE＝90°，

∴∠OPD＝∠FDE．

在△ODP和△FED中，，

∴△ODP≌△FED（AAS），

∴DF＝OP，EF＝DO．

∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴点D的坐标为（1，0），

∴EF＝DO＝1．

当y＝1时，﹣x2+2x+3＝1，

解得：x1＝1﹣（舍去），x2＝1+，

∴DF＝OP＝1+，

∴点P的坐标为（0，1+）．

（3）∵点M（m，n）是抛物线上的一个动点，

∴n＝﹣m2+2m+3，

∴m2﹣2m＝3﹣n．

∵点D的坐标为（1，0），

∴MD2＝（m﹣1）2+（n﹣0）2＝m2﹣2m+1+n2＝3﹣n+1+n2＝n2﹣n+4．

∵n2﹣n+4＝（n﹣）2+，

∴当n＝时，MD2取得最小值，此时﹣m2+2m+3＝，

解得：m1＝，m2＝．

∴MD2＝n2﹣n+4，

当MD2取得最小值时，点M的坐标为（，）或（，）．