Question

如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，M 在 AC上，且AM＝6cm，过点 A(与 BC 在 AC 同侧)作射线 AN⊥AC，若动点 P 从点 A 出发，沿射线 AN 匀速运动，运动速度为 1cm/s，设点 P 运动时间为 t 秒．

(1)经过     秒时，Rt△AMP 是等腰直角三角形？

(2)经过几秒时，PM⊥MB？

(3)经过几秒时，PM⊥AB？

(4)当△BMP 是等腰三角形时，直接写出 t 的所有值．

Answer

(1)6；(2)2；(3)8；(4)2或.

【解析】

(1)得出腰时AM=AP，即可得出答案；

(2)根据垂直的定义和同角的余角相等得到∠CBM＝∠AMP，证明△CBM≌△AMP，根据全等三角形的性质得到 AP＝CM＝2，根据题意得到答案；

(3)证明△APM≌△CAB，根据全等三角形的性质得到 AP＝CA＝8，根据题意得到答案；

(4)分 MB＝MP 和 PB＝PM 两种情况，根据全等三角形的性质，勾股定理计算即可．

(1)当 Rt△AMP 是等腰直角三角形时，AP＝AM＝6cm，

∴t＝6÷1＝6(s)，

故答案为：6；

(2)当 PM⊥MB 时，∠BMP＝90°，

∴∠BMC+∠AMP＝90°，又∠BMC+∠CBM＝90°，

∴∠CBM＝∠AMP，

在△CBM 和△AMP 中，

，

∴△CBM≌△AMP(ASA)，

∴AP＝CM＝2，

∴t＝2，即经过 2 秒时，PM⊥MB；

(3)当 PM⊥AB 时，如图1，∠PHA＝90°，

∴∠HPA+∠HAP＝90°，又∠HAP+∠CAB＝90°，

∴∠APM＝∠CAB，

在△APM 和△CAB 中，

，

∴△APM≌△CAB(ASA)，

∴AP＝CA＝8，

∴t＝8，

∴经过 8 秒时，PM⊥AB；

(4)根据勾股定理得，BM＝，BP 的最小值为 8，

∵＜8，

∴BM≠BP，

当 MB＝MP 时，

在 Rt△BCM 和 Rt△MAP 中，

，

∴Rt△BCM≌Rt△MAP(HL)，

∴AP＝CM＝2， 则 t＝2，

当 PB＝PM 时，如图2，作BF⊥AN于 F， 则四边形 BCAF 为矩形，

∴BF＝CA＝8，AF＝BC＝6，

∴PF＝6﹣t，

由勾股定理得，BP2＝PF2+BF2，MP2＝AM2+AP2，

∴PF2+BF2＝AM2+AP2，即(6﹣t)2+82＝62+t2， 解得，t＝，

∴当△BMP 是等腰三角形时，t＝2 或.