Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．点D是线段AC上一点，连接BD．过点C作CE⊥BD于点E．点F是AB垂直平分线上一点，连接BF、EF．

（1）若AD＝4，tan∠BCE＝，求AB的长；

（2）当点F在AC边上时，求证：∠FEC＝45°．

Answer

(1) AB＝18；(2)证明见解析；

【解析】

（1）先过点D作DM⊥AB于点M，构造等腰直角三角形，求得DM＝AM＝4，再根据∠ABD＝∠BCE，得出tan∠BCE＝tan∠ABD，求得BM＝14，进而根据AB＝AM+BM进行计算；

（2）在CE上截取CN＝BE，连接FN，先判定△BEF≌△CFN，得出△EFN是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

（1）如图，过点D作DM⊥AB于点M．

∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝45°，∴AM＝DM．

∵AD＝4，∴DM＝AMAD＝4．

∵CE⊥BD，∴∠BEC＝90°＝∠ABC，∴∠BCE+∠EBC＝90，∠EBC+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BCE，∴tan∠BCE＝tan∠ABD，即，∴BM＝14，∴AB＝AM+BM＝4+14＝18；

（2）∵F是AB的垂直平分线上的点，∴AF＝BF，∴∠A＝∠ABF＝45°．

∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝45°，∴∠FBC＝∠FCB，且∠ABD＝∠BCE，∴BF＝CF，∠EBF＝∠ECF，如图，在CE上截取CN＝BE，连接FN．

∵BF═CF，∠EBF＝∠ECF，∴△BEF≌△CFN，（SAS），∴FN＝EF，∠BFE＝∠CFN．

∵∠FCB＝∠FBC＝45°，∴∠BFC＝90°，∴∠CFN+∠BFN＝90°，∴∠BFE+∠BFN＝90°，∴∠EFN＝90°，且EF＝FN，∴△EFN是等腰直角三角形，∴∠FEC＝45°．