Question

若抛物线L：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L的 “带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．

（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x²﹣2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上，它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4，求此“路线”L的解析式；

（3）当常数k满足≤k≤2时，求抛物线L：y=ax²+（3k²﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．

Answer

（1）m的值为﹣1，n的值为1；（2）y=2（x+1）2﹣6；（3）≤S≤.

【解析】

试题（1）确定直线y=mx+1与y轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出n的值；再根据抛物线的解析式找出顶点坐标，将其代入直线解析式中即可得出结论；（2）确定直线与反比例函数图象的交点坐标，由此设出抛物线的解析式，再由直线的解析式找出直线与x轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出结论；（3）由抛物线解析式找出抛物线与y轴的交点坐标，再根据抛物线的解析式找出其顶点坐标，由两点坐标结合待定系数法即可得出与该抛物线对应的“带线”l的解析式，找出该直线与x、y轴的交点坐标，结合三角形的面积找出面积S关于k的关系上，由二次函数的性质即可得出结论．

试题解析：（1）令直线y=mx+1中x=0，则y=1，

即直线与y轴的交点为（0，1）；

将（0，1）代入抛物线y=x2﹣2x+n中，

得n=1．

∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．

将点（1，0）代入到直线y=mx+1中，

得：0=m+1，解得：m=﹣1．

答：m的值为﹣1，n的值为1．

（2）将y=2x﹣4代入到y=中有，

2x﹣4=，即2x2﹣4x﹣6=0，

解得：x1=﹣1，x2=3．

∴该“路线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）或（3，2）．

令“带线”l：y=2x﹣4中x=0，则y=﹣4，

∴“路线”L的图象过点（0，﹣4）．

设该“路线”L的解析式为y=m（x+1）2﹣6或y=n（x﹣3）2+2，

由题意得：﹣4=m（0+1）2﹣6或﹣4=n（0﹣3）2+2，

解得：m=2，n=﹣．

∴此“路线”L的解析式为y=2（x+1）2﹣6或y=﹣（x﹣3）2+2．

（3）令抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k中x=0，则y=k，

即该抛物线与y轴的交点为（0，k）．

抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的顶点坐标为（﹣，），

设“带线”l的解析式为y=px+k，

∵点（﹣，）在y=px+k上，

∴=﹣p+k，

解得：p=．

∴“带线”l的解析式为y=x+k．

令∴“带线”l：y=x+k中y=0，则0=x+k，

解得：x=﹣．

即“带线”l与x轴的交点为（﹣，0），与y轴的交点为（0，k）．

∴“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积S=|﹣|×|k|，

∵≤k≤2，

∴≤≤2，

∴S===，

当=1时，S有最大值，最大值为；

当=2时，S有最小值，最小值为．

故抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围为≤S≤．