Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是_____．

Answer

①②④

【解析】

①连接EG．根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②由BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线．得到∠ABF=∠EBD．由于∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEG=∠C+∠EBD，得到∠AFE=∠AEF，根据等腰三角形的性质可得②正确；③如果∠EBC=∠C，则∠C=∠ABC，由于∠BAC=90°那么∠C=30°，但∠C≠30°，故③错误；④证明△ABN≌△GBN，得到AN=GN，证出四边形AFGE是平行四边形，得到GF∥AE，故④正确；⑤由AE=AF，AE=FG，而△AEF不是等边三角形，得到EF≠AE，于是EF≠FG，故⑤错误．

①连接EG.

∵∠BAC=90°,AD⊥BC.

∴∠C+∠ABC=90°,∠C+∠DAC=90°,∠ABC+∠BAD=90°.

∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，故①正确；

②∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，

∴∠ABF=∠EBD.

∵∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEG=∠C+∠EBD，

∴∠AFE=∠AEF.

∴AF=AE，故②正确；

③如果∠EBC=∠C,则∠C=∠ABC，

∵∠BAC=90°，

那么∠C=30°,但∠C≠30°，故③错误；

④∵AG是∠DAC的平分线，

∴AN⊥BE，FN=EN，

在△ABN与△GBN中,∵

∴△ABN≌△GBN.

∴AN=GN.

∴四边形AFGE是平行四边形.

∴GF∥AE.

即GF∥AC.故④正确；

⑤∵AE=AF，AE=FG，

而△AEF不是等边三角形，

∴EF≠AE.

∴EF≠FG，故⑤错误.

故答案为：①②④.