Question

（1）已知一个多边形的内角和是它的外角和的 3 倍，求这个多边形的边数．

（2）如图，点F 是△ABC 的边 BC 延长线上一点．DF⊥AB，∠A=30°，∠F=40°，求∠ACF 的度数．

Answer

(1)8；(2)80°．

【解析】

根据多边形的外角和为360°，内角和公式为：（n-2）•180°，由题意可知：内角和=3×外角和，设出未知数，可得到方程，解方程即可．

在直角三角形DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数；再在△ABC中，根据内角与外角的性质求∠ACF的度数即可．

(1)设这个多边形的边数为n，

∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，

∴（n﹣2）•180°=360°×3，

解得n=8．

∴这个多边形的边数为8．

(2)在△DFB中，

∵DF⊥AB，

∴∠FDB=90°，

∵∠F=40°，∠FDB+∠F+∠B=180°，

∴∠B=50°．

在△ABC中，

∵∠A=30°，∠B=50°，

∴∠ACF=30°+50°=80°．