Question

如图，∠A=∠B=50°，P 为 AB 中点，点 M 为射线 AC 上（不与点 A 重合）的任意一点，连接 MP， 并使MP 的延长线交射线BD 于点N，设∠BPN=α．

（1）求证：△APM≌△BPN；

（2）当 MN=2BN 时，求α的度数；

（3）若△BPN 为锐角三角形时，直接写出α的取值范围．

Answer

(1)证明见解析；(2)α=∠B=50°；(3)40°＜α＜90°．

【解析】

根据AAS可证明△APM≌△BPN.

由（1）中的全等得MN=2PN，所以BN=PN，由等边对等角可得结论.

三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形内部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题目中要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论.

(1)∵P是AB的中点，

∴PA=PB，

在△APM和△BPN中，

∵，

∴△APM≌△BPN（ASA）；

(2)由(1)得：△APM≌△BPN，

∴PM=PN，

∴MN=2PN，

∵MN=2BN，

∴BN=PN，

∴α=∠B=50°；

(3)∵△BPN是锐角三角形，

∵∠B=50°，

∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．