Question

已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，D 是BC 上一点，EC⊥BC，EC=BD，DF=FE．

求证：（1）△ABD≌△ACE；

（2）AF⊥DE．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠BCA=45°，再求出∠ACE=45°，从而得到∠B=∠ACE，然后利用“边角边”即可证明△ABD≌△ACE；（2）根据全等三角形对应边相等可得AD=AE，然后利用等腰三角形三线合一的性质证明即可．

（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠BCA=45°，

∵EC⊥BC，

∴∠ACE=90°﹣45°=45°，

∴∠B=∠ACE，

在△ABD和△ACE中，，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）由（1）知，△ABD≌△ACE，

∴AD=AE，

等腰△ADE中，∵DF=FE，

∴AF⊥DE．