Question

(1)观察推理：如图 1，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,直线 L 过点C，点 A,B 在直线 L 同侧，BD⊥L， AE⊥L，垂足分别为D,E

求证:△AEC≌△CDB

（2）类比探究：如图 2，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°至 AB’, 连接B’C，求△AB’C 的面积

（3）拓展提升：如图 3，等边△EBC 中，EC=BC=3cm，点 O 在 BC 上且 OC=2cm，动点 P 从点 E 沿射线EC 以 1cm/s 速度运动，连接 OP,将线段 OP 绕点O 逆时针旋转 120°得到线段 OF，设点 P 运动的时间为t 秒。

当t=     秒时，OF∥ED

若要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t

Answer

(1)证明见解析；(2)8；(3)①1；②4s．

【解析】

(1)先利用等角的余角相等得到 ,则可根据“AAS”证明 ;
(2)作B′D⊥AC于D,如图2,先证明△B′AD≌△ABD得到B′D=AC=4,然后根据三角形面积公式计算;
(3)因为OF∥ED，所以∠POF+∠OPC=180°，因为∠POF=120°，所以∠OPC=60°，因为△BEC是等边三角形，所以∠BCE=60°=∠OPC，∠E=∠OPC=60°，△COP是等边三角形，PC=OC，即可求解；如图3,利用旋转的性质得 ,OP=OF,再证明 得到PC=OB=1,则BP=BC+PC=4,然后计算点P运动的时间t.

(1)如图1，

∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中

∴△AEC≌△CDB；

(2)作B′D⊥AC于D，如图2，

∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，

∴AB′=AB，∠B′AB=90°，

即∠B′AC+∠BAC=90°，

而∠B+∠CAB=90°，

∴∠B=∠B′AC，

在△B′AD和△ABD中

，

∴△B′AD≌△ABD，

∴B′D=AC=4，

∴△AB′C的面积=×4×4=8；

(3)①由题意得：EP=t，则PC=3﹣t，

如图4，∵OF∥ED

∴∠POF+∠OPC=180°，

∵∠POF=120°，

∴∠OPC=60°，

∵△BEC是等边三角形，

∴∠BCE=60°=∠OPC，

∴∠E=∠OPC=60°，

∴△COP是等边三角形，

∴PC=OC=2，

∴2=3﹣t，

∴t=1，

即当t=1秒时，OF∥ED，

故答案为：1；

②如图3，∵OC=2，

∴OB=BC﹣OC=1，

∵线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF，

∴∠FOP=120°，OP=OF，

∴∠1+∠2=60°，

∵△BCE为等边三角形，

∴∠BCE=∠CBE=60°，

∴∠FBO=120°，∠PCO=120°，

∴∠2+∠3=∠BCE=60°，

∴∠1=∠3，

在△BOF和△CPO，

，

∴△BOF≌△CPO，

∴PC=OB=1，

∴BP=BC+PC=3+1=4，

∴点P运动的时间t==4s．