Question

设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x²+2（m﹣2）x+m²﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，

（1）若x₁²+x₂²=6，求m值；

（2）令T=，求T的取值范围．

Answer

（1）m=；（2）0＜T≤4且T≠2．

【解析】

由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m＜1，根据根与系数的关系可得x1+x2=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；（1）把x12+x22=6化为（x1+x2）2﹣2x1x2=6，代入解方程求得m的值，根据﹣1≤m＜1对方程的解进行取舍；（2）把T化简为2﹣2m，结合﹣1≤m＜1且m≠0即可求T得取值范围.

∵方程由两个不相等的实数根，

所以△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）

=﹣4m+4＞0，

所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的实数，

∴﹣1≤m＜1

∴x1+x2=﹣2（m﹣2）=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；

（1）∵x12+x22=6，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6，

即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）=6

整理，得m2﹣5m+2=0

解得m=；

∵﹣1≤m＜1

所以m=．

（2）T=+

=

=

=

=

=2﹣2m．

∵﹣1≤m＜1且m≠0

所以0＜2﹣2m≤4且m≠0

即0＜T≤4且T≠2．