Question

已知抛物线y＝﹣x²﹣（m+3）x+m²﹣12与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₁＜0，x₂＞0，抛物线与y轴交于点C，OB＝2OA．

（1）求抛物线解析式；

（2）已知直线y＝x+2与抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M₁、N₁，是否存在点P，同时满足如下两个条件：

①P为抛物线上的点，且在直线MN上方；

②:＝6：35

若存在，则求点P横坐标t，若不存在，说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2+x+4 （2）存在，t＝或t＝﹣1

【解析】

（1）先求出x2＝﹣2x1，再令y＝0，用根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2（m+3），x1x2＝﹣2（m2﹣12），即可得出结论；

（2）先求出M，N的坐标，进而求出梯形MM1N1N的面积，即可求出三角形PMN的面积，进而求出t的值，最后判断即可得出结论．

【解析】
（1）∵A（x1，0）、B（x2，0）且x1＜0，x2＞0，

∴OA＝﹣x1，OB＝x2，

∵OB＝2OA，

∴x2＝﹣2x1，

∵抛物线y＝﹣x2﹣（m+3）x+m2﹣12与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，

令y＝0，

∴0＝﹣x2﹣（m+3）x+m2﹣12，

∴x2+2（m+3）x﹣2（m2﹣12）＝0，

根据根与系数关系得，x1+x2＝﹣2（m+3），x1x2＝﹣2（m2﹣12），

∴﹣x1＝﹣2（m+3），﹣2x12＝﹣2（m2﹣12），

∴4（m+3）2＝m2﹣12，∴m＝﹣4，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；

（2）如图，由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4①，

∴直线y＝x+2②与抛物线相交于M、N两点，

联立①②解得， 或，

∴N（，），M（，），

∴MM1＝，NN1＝，M1N1＝，

∴S梯形MM1N1N＝（MM1+NN1）×M1N1＝，

∵:＝6：35，

∴S△PMN＝，

设P（t，﹣t2+t+4），（＜t＜），

∴Q（t， t+2），

∴PQ＝﹣t2+t+4﹣t﹣2＝﹣t2+t+2，

∴S△PMN＝PQ•M1N1＝（﹣t2+t+2）×＝，

∴2t2﹣3t﹣5＝0，

∴t＝或t＝﹣1，都符合题，

即：点P横坐标t＝或t＝﹣1．

注：【利用估算的方法将t的范围缩放】

∵8.5＜ ＜8.6，

∴﹣1.4＜＜﹣1.3，

2.875＜＜2.9，

∵＜t＜，

∴﹣1.3＜t＜2.875．