Question

已知，AB、AC是圆O的两条弦，AB=AC，过圆心O作OH⊥AC于点H．

（1）如图1，求证：∠B=∠C；

（2）如图2，当H、O、B三点在一条直线上时，求∠BAC的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，点E为劣弧BC上一点，CE=6，CH=7，连接BC、OE交于点D，求BE的长和的值．

Answer

（1）证明见解析．（2）∠BAC=60°；

（3）BM=5，=.

【解析】

试题（1）如图1中，连接OA．欲证明∠B=∠C，只要证明△AOC≌△AOB即可．

（2）由OH⊥AC，推出AH=CH，由H、O、B在一条直线上，推出BH垂直平分AC，推出AB=BC，由AB=AC，推出AB=AC=BC，推出△ABC为等边三角形，即可解决问题．

（3）过点B作BM⊥CE延长线于M，过E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K．设ME=x，则BE=2x，BM=x，在△BCM中，根据BC2=BM2+CM2，可得BM=5，推出sin∠BCM==，推出NE=，OK=CK=，由NE∥OK，推出DE：OD=NE：OK即可解决问题．

试题解析：（1）如图1中，连接OA．

∵AB=AC，

∴弧AC=弧AB，

∴∠AOC=∠AOB，

在△AOC和△AOB中，

，

∴△AOC≌△AOB，

∴∠B=∠C．

【解析】
（2）连接BC，

∵OH⊥AC，

∴AH=CH，

∵H、O、B在一条直线上，

∴BH垂直平分AC，

∴AB=BC，∵AB=AC，

∴AB=AC=BC，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°．

【解析】
（3）过点B作BM⊥CE延长线于M，过E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K．

∵CH=7，

∴BC=AC=14，

设ME=x，

∵∠CEB=120°，

∴∠BEM=60°，

∴BE=2x，

∴BM=x，

△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，

∴142=（x）2+（6+x）2，

∴x=5或﹣8（舍弃），

∴BM=5，

∴sin∠BCM==，

∴NE=，

∴OK=CK=，

∵NE∥OK，

∴DE：OD=NE：OK=45：49．