Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y₁＝ax（x﹣2）与x轴交于O、A两点，顶点为M，对称轴BM交抛物线于点B，交x轴于点C，连接OB、AB、OM、AM，已知0＜a＜4，四边形OMAB的面积为S．

特例探究：填表：

归纳证明：

当a＝2时，证明四边形OMAB是菱形；

拓展应用

（1）将抛物线y₁＝ax（x﹣2）改为抛物线y₃＝ax（x﹣2m）（m＞0），其他条件不变，当四边形OMAB为正方形时，a＝　   　，m＝　   　．

（2）将抛物线y₁＝ax（x﹣2）改为抛物线y₃＝ax（x﹣2m）（m＞0），其他条件不变，S＝　   　（用含m的代数式表示）．

Answer

特例探究：4，4，4；归纳证明：答案见解析；拓展应用：（1）2，；（2）4m3．

【解析】

特例探究：根据题意可得点A的坐标，分别求得当a的值分别取1，2，3时，B与M的坐标，即可求得答案；

归纳证明：由抛物线y=ax（x-2）（0＜a＜4）与x轴交于O，A两点，可求得点A的坐标，求得对称轴，则可求得点M与点B的坐标，即可证得结论；

拓展应用

（1）由抛物线y=ax（x-2m）（0＜a＜4）与x轴交于O，A两点，首先可求得点A的坐标，再求得对称轴，则可求得点M与点B的坐标，由四边形OMAB为正方形，可得方程组，从而求得答案；

（2）结合归纳证明与（1），即可求得答案．

特例探究：当y1＝0时，ax（x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝2，∴点A的坐标为（2，0），∴抛物线y1＝ax（x﹣2）的对称轴为直线x＝1．

当x＝1时，y1＝ax（x﹣2）＝﹣a，∴点M的坐标为（1，﹣a），

当x＝1时，y2＝（4﹣a）x2＝4﹣a，∴点B的坐标为（1，4﹣a），

∴OA＝2，BM＝4﹣a﹣（﹣a）＝4，∴S＝S△OAB+S△OAM＝OA•BM＝×2×4＝4．

故答案为：4；4；4．

归纳证明：当a＝2时，点M的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（1，2），∴BC＝CM．

∵点A的坐标为（2，0），抛物线y1＝ax（x﹣2）的对称轴为直线x＝1．∴OC＝AC.

∴四边形OMAB是平行四边形

∵BM⊥OA，∴当a＝2时，四边形OMAB是菱形；

拓展应用：（1）当y3＝0时，ax（x﹣2m）＝0，解得：x1＝0，x2＝2m，∴点A的坐标为（2m，0），∴抛物线y3＝ax（x﹣2m）的对称轴为直线x＝m．

当x＝m时，y3＝ax（x﹣2m）＝﹣am2，∴点M的坐标为（m，﹣am2），

当x＝m时，y2＝（4﹣a）x2＝（4﹣a）m2，∴点B的坐标为（m，（4﹣a）m2）．

∵四边形OMAB为正方形，∴BC＝CM＝OC，即，

解得：a＝2，m＝．

故答案为：2；．

（2）由（1）可知：OA＝2m，BM＝（4﹣a）m2﹣（﹣am2）＝4m2，∴S＝S△OAB+S△OAM＝OA•BM＝×2m×4m2＝4m3．

故答案为：4m3．