Question

抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中﹣2＜h＜﹣1，﹣1＜x_B＜0，下列结论①abc＜0；②（4a﹣b）（2a+b）＜0；③4a﹣c＜0；④若OC=OB，则（a+1）（c+1）＞0，正确的为（　　）

A. ①②③④    B. ①②④    C. ①③④    D. ①②③

Answer

C

【解析】

①由抛物线对称轴位置确定ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而对所得结论进行判断；

②根据对称轴公式和-2＜h＜-1可得：4a-b＜0，根据a＜0，b＜0可知：2a+b＜0，可作判断；

③根据b＞4a，得2b-8a＞0①，当x=-2时，4a-2b+c＞0②，两式相加可得结论；

④根据OB=OC可知：c是方程ax2+bx+c=0的一个根，代入后可得：ac+b+1=0，则ac=-b-c，将所求的式子去括号再将ac的式子代入可得结论．

①∵抛物线开口向下，

抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，故ab＞0，

抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0，

故①正确；

②∵抛物线开口方向向下，

∴a＜0，

∵x=-=h，且-2＜h＜-1，

∴4a＜b＜2a，

∴4a-b＜0，

又∵h＜0，

∴-＜1

∴2a+b＜0，

∴（4a-b）（2a+b）＞0，

故②错误；

③由②知：b＞4a，

∴2b-8a＞0①．

当x=-2时，4a-2b+c＞0②，

由①+②得：4a-8a+c＞0，即4a-c＜0．

故③正确；

④∵当x=-1时，a-b+c＞0，

∵OC=OB，

∴当x=c时，y=0，即ac2+bc+c=0，

∵c≠0，

∴ac+b+1=0，

∴ac=-b-1，

则（a+1）（c+1）=ac+a+c+1=-b-1+a+c+1=a-b+c＞0，

故④正确；

所以本题正确的有：①③④，

故选C．