Question

如图，用30m长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m，设矩形的宽AB为xm．

(1)用含x的代数式表示矩形的长BC；

(2)设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；

(3)这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？

Answer

（1）（30﹣2x）m；（2）y＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；（3）这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．

【解析】

（1）设菜园的宽AB为xm，则BC为（30-2x）m.

（2）由面积公式写出y与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；
（3）第（2）中求得函数y＝﹣2x2+30x，a＜0,利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．

【解析】
（1）∵AB＝CD＝xm，

∴BC＝（30﹣2x）m，

（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；

（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，

∴当x＝7.5时，S有最大值，S最大＝112.5，

此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．

答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．